Géométrie Affine, Projective, Euclidienne et Anallagmatique by Yves Ladegaillerie


335815f32a3eeb0-261x361.jpg Author Yves Ladegaillerie
Isbn 9782729814168
File size 51.7MB
Year 2003
Pages 528
Language French
File format PDF
Category mathematics



 

, , GEOMETRIE AFFINE, PROJECTIVE, EUCLIDIENNE ET ANALLAGMATIQUE Licence - CAPES - Agrégation , , GEOMETRIE AFFINE, PROJECTIVE, EUCLIDIENNE ET ANALLAGMATIQUE Yves Ladegaillerie à Anne, Éric et Yannik ISBN 2-7298-1416-7 © Ellipses Édition Marketing S.A., 2003 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15 ® DAf!GER PllOTOCOP\UAGE TU!LEUVRE Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux tennes de l'article L.122-5.2° et 3°a). d'une pan, que les« copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective», et d'auue pan, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droil ou ayants cause est illicite » (Art. L.122-4). Celte représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soil constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle. www.editions-ellipses.fr INTRODUCTION Cet ouvrage est un cours complet de géométrie classique. Après une construction cohérente de toutes les notions de base à partir de l'algèbre linéaire, on y fait de la "vraie" géométrie, avec plus de 800 figures. Il contient, en particulier l'étude détaillée: - des géométries affine, projective, euclidienne et des applications et transformations correspondantes : homothéties et translations, affinités, projections, homographies projectives, homologies, élations et perspectives, isométries, similitudes, - des configurations du plan et de l'espace, des triangles, cercles et quadrilatères aux pavages, polyèdres réguliers et leurs groupes, - de tous les classiques euclidiens et des grands théorèmes, de Pythagore à Feuerbach et Morley, - des coniques projectives, affines et euclidiennes, et des théorèmes célèbres, d'Apollonius à Pascal et Poncelet, - de l'inversion, des homographies et anti-homographies complexes : c'est la géométrie "anallagmatique ". Le public concerné va des étudiants des premiers et seconds cycles universitaires aux élèves professeurs et professeurs de mathématiques. En particulier, les enseignants des lycées et collèges pourront l'utiliser dans le cadre de leur formation continue, pour rafraîchir et approfondir leur connaissance des sujets qu'ils traitent quotidiennement et pour la préparation de l'agrégation interne. L'ouvrage est conçu comme livre d'apprentissage - les notions les plus élémentaires sont explicitées - et de référence grâce à un index de plus de 1100 termes. Beaucoup d'exercices sont devenus classiques car ils illustrent les processus fondamentaux utilisés dans toute question de géométrie. Ils sont donnés en cours ou en fin de chapitre, avec des centaines d'autres ( 450 au total). Une notice donne quelques renseignements biographiques sur les principaux mathématiciens auteurs des résultats cités. Elle est suivie d'une petite bibliographie. Je remercie les lecteurs de bien vouloir noter les erreurs qui peuvent subsister ici où là et de me les signaler afin d'y remédier dans une prochaine édition. Montpellier, juin 2002 Yves Ladegaillerie TABLE DES MATIÈRES INTRODUCTION ........................................................................................................................................................................... 3 TABLE DES rv1ATIÈRES ............................................................................................................................................................... 5 I GÉOMÉTRIE AFFINE 1. ESPACE AFFINE............................................................................ :....................................................................................... 13 2. VARIÉTÉ AFFINE (SOUS-ESPACE AFFINE) ............................................................................................................... 15 Définition, parallélisme ...................................................................................................................................... 15 Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives, régionnement) ....................................... 16 3. REPÈRE AFFINE. MESURE ALGÉBRIQUE. AIRE, VOLUME .............................................................................. 20 Repère affine. Rapports. Mesure algébrique ................................................................................................. 20 Triangle, quadrilatère, parallélogramme, tétraèdre........................................................................................ 22 Aire et volume algébriques ................................................................................................................................. 24 4. BARYCENTRE. INDÉPENDANCE AFFINE. BASE AFFINE. CONVEXITÉ .................................................... 24 Barycentre et fonction de Leibniz ................................................................................................................... 24 Indépendance affine. Base affine ..................................................................................................................... 27 Éléments de convexité ....................................................................................................................................... 29 S. LES GRANDS THEORÈMES AFFINES CLASSIQUES .............................................................................................. 31 Le théorème de Thalès ...................................................................................................................................... 31 Les théorèmes de Desargues et Pappus (forme affine faibl.e) ..................................................................... 35 Les théorèmes de Ménélaüs et Ceva............................................................................................................... 36 6. COORDONNÉES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES ............................................................................................ 39 Changement de repère cartésien. Degré d'une courbe algébrique .............................................................. 39 Équations de droites dans le plan, régionnement, faisceaux ...................................................................... .40 Équations de plans dans l'espace, régionnement, faisceaux ..................................................................... .45 Coordonnées plückériennes d'une droite....................................................................................................... 47 Équations cartésiennes en dimensions supérieures ...................................................................................... 48 7. COORDONNÉES ET ÉQUATIONS BARYCENTRIQUES ....................................................................................... 49 Expression des coordonnées barycentriques en termes de déterminants ................................................ .49 Condition d'alignement, équation barycentrique d'une droite, faisceaux .................................................. 50 Théorèmes de Ménélaüs et de Ceva en coordonnée barycentriques ......................................................... 51 8. BIRAPPORT EN GÉOMÉTRIE AFFINE ..................................................................................................................... 54 Birapport de scalaires, de points, de droites ................................................................................................... 54 Birapport de quatre plans ou hyperplans ........................................................................................................ 56 Birapport de quatre vecteurs et de quatre droites ......................................................................................... 57 Diverses expressions analytiques du birapport. ............................................................................................. 58 Opérations sur le birapport. ............................................................................................................................. 59 9. NORMES, TOPOLOGIE, LIMITES. NOTIONS DIFFÉRENTIELLES ................................................................. 61 Norme et distance. Topologie .......................................................................................................................... 61 Droite et plan tangents. Étude locale et à l'infini......................................................................................... 63 Fonctions convexes, caractérisations ............................................................................................................. 66 Équation tangentielle et enveloppe ........................................................................................................-......... 68 10. COMPLEXIFIÉ ET POINTS IMAGINAIRES .............................................................................................................. 69 II APPLICATIONS AFFINES 1. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES APPLICATIONS AFFINES ................................................................................ 73 Définitions. Propriétés fondamentales (invariants, déterminations, points fixes) ................................... 73 Produit semi-direct.. Structure et topologie du groupe affine GA(E) ........................................................ 76 Application ponctuelle et vectorielle : conservation des milieux et parallélogrammes .......................... 78 Caractérisation par conservation des rapports vectoriels ou du barycentre ............................................ 79 Conservation du contact. .................................................................................................................................. 79 2. HOMOTHÉTIES ET TRANSLATIONS ............................................................................................................................ 81 Le groupe des homothéties et translations ..................................................................................................... 81 Produits d'homothéties et de translations ...................................................................................................... 81 Propriétés des homothéties et translations, caractérisations ....................................................................... 83 Applications aux théorèmes classiques (Thalès, Desargues, Pappus, Ménélaüs, Ceva) .......................... 84 3. PROJECTIONS, SYMÉTRIES AFFINES. AFFINITÉS. TRANSVECTIONS ......................................................... 90 Projections, symétries, affinités ........................................................................................................................ 90 Dilatations et transvections vectorielles, affines. Génération du groupe affine ....................................... 93 4. LE THÉORÈJ\Œ "FONDAMENTAL" DE LA GÉOl\IÉTRIE AFFINE ................................................................. 97 Caractérisation des bijections affines par la conservation de l'alignement................................................ 97 Caractérisation d'applications affines non bijectives .................................................................................... 99 S. EXPRESSION ANALYTIQUE DES APPLICATIONS AFFINES ........................................................................ 99 III GÉOMÉTRIE PROJECTIVE 1. PROLONGEMENT VECTORIEL D'UN ESPACE AFFINE .................................................................................... 101 Les théorèmes fondamentaux sur le prolongement vectoriel. .................................................................. 101 Prolongement vectoriel et coordonnées barycentriques ............................................................................ 105 2. POINTS À L'INFINI. COMPLÉTION PROJECTIVE ................................................................................................. 106 Point à l'infini d'une droite. Droite projective. Cas de R. ..........................................................................106 Complétion projective d'un plan affine ........................................................................................................ 108 Points à l'infini et coordonnées barycentriques de somme nulle .......................................................... 109 Espaces projectifs généraux ........................................................................................................................... 109 Complété projectif d'un espace affine en dimension quelconque ......................................................... 111 Structure affine sur le complémentaire d'un hyperplan dans un espace projectif. ............................. 111 Changement d'hyperplan de l'infini, versions affines et projectives des configurations ................... 112 Les théorèmes de Desargues et Pappus : versions projectives et avatars affines ................................... 113 3. BIRAPPORT, CONJUGAISON, POLAIRE .................................................................................................................... 117 Birapport de quatre points et quatre droites, faisceau harmonique ......................................................... 117 Points conjugués par rapport à deux droites. Polaire ................................................................................. 120 Étude générale du birapport : birapport d'hyperplans, conjugaison, polaires ........................................ 123 4. REPÉRAGE PROJECTIF: COORDONNÉES HOMOGÈNES ............................................................................... 124 Repérage d'un point dans un espace projectif. ............................................................................................ 124 Indépendance projective. Repère projectif.................................................................................................. 125 Cas d'un complété projectif: coordonnées homogènes relatives à un repère affine ............................ 126 Cordonnées homogènes dans le plan. Équations de droites. Faisceaux................................................. 127 Courbe algébrique en coordonnées homogènes. Tangentes. Équation tangentielle .......................... 129 Coordonnées homogènes et birapport de points, de droites d'un faisceau ......................................... 131 S. DUALITÉ PROJECTIVE .................................................................................................................................................... 133 Dualité projective canonique .......................................................................................................................... 133 Dualité projective associée à un repère. Étude du cas plan ....................................................................... 134 Birapport et dualité.......................................................................................................................................... 136 Quelques théorèmes duaux............................................................................................................................. 136 6. APPLICATIONS PROJECTIVES. HOMOGRAPHIES ............................................................................................... 137 Définitions. Propriétés générales, image d'un repère, détermination ...................................................... 137 Exemple fondamental: les projections coniques ou perspectives ........................................................ 141 Homologies et élations. Génération du groupe projectif.......................................................................... 142 Perspectives dans le complété projectif de l'espace affine. Dessins en perspective.............................. 145 Homographies entre droites projectives ...................................................................................................... 148 Homographies d'une droite sur elle-même .............................................................................................. 148 Homographies entre deux droites coplanaires. Axe d'homographie ................................................... 150 Définition d'un birapport sur un ensemble : structure de droite projective à h. p ............................. 151 Théorème fondamental de la géométrie projective .................................................................................... 153 7. COMPLEXIFICATION D'UN ESPACE PROJECTIF RÉEL. ................................................................................... 154 6 IV GÉOMÉTRIE VECTORIELLE EUCLIDIENNE 1. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET ORTHOGONALITÉ ........................................................................ 157 Produit scalaire et norme euclidiens .............................................................................................................. 157 Orthogonalité de vecteurs et de parties. Bases orthonormées. Procédé de Gram-Schmidt................ 159 Projections orthogonales vectorielles ............................................................................................................ 161 Complexification d'un espace vectoriel euclidien. Espace vectoriel hermitien ...................................... 163 2. APPLICATIONS ORTHOGONALES ET GROUPE ORTHOGONAL.............................................................. 164 Applications et matrices orthogonales. Propriétés générales .................................................................... 164 Changement de base orthonormée. Déterminant dans une base orthonormée directe ....................... 167 Groupe orthogonal du plan euclidien ........................................................................................................... 168 3. ANGLES DANS UN PLAN VECTORIEL EUCLIDIEN ........................................................................................... 169 Les angles orientés de vecteurs et leur mesure ............................................................................................ 169 Cosinus et sinus d'un angle. Angle polaire. Produit scalaire et déterminant. ...................................... 173 Les angles orientés de droites et leur mesure ............................................................................................... 175 Utilisation conjointe de mesures d'angles modulo 1t et modulo 21t..................................................... 178 Angles géométriques ........................................................................................................................................ 178 Les angles de secteurs plans ............................................................................................................................ 181 Les angles dans l'espace ................................................................................................................................... 181 4. GROUPE ORTHOGONAL EN TOUTES DIMENSIONS ........................................................................................ 182 Structure des applications orthogonales ....................................................................................................... 182 Classification des applications orthogonales en dimension 3................................................................... 183 5. SIMILITUDES VECTORIELLES ...................................................................................................................................... 187 Étude générale.................................................................................................................................................. 187 Exemple : similitudes vectorielles du plan euclidien ................................................................................... 188 6. REPRÉSENTATION COMPLEXE DU PLAN VECTORIEL EUCLIDIEN ........................................................ 189 Affixes de vecteurs. Norme, angles, produit scalaire et déterminant... ................................................... 189 Forme complexe d'une application vectorielle. Les similitudes ................................................................ 190 7. PRODUIT MIXTE ET PRODUIT VECTORIEL. ......................................................................................................... 191 Produit mixte.................................................................................................................................................... 191 Produit vectoriel. ...................................................................................... :....................................................... 192 8. APPENDICE : CONSTRUCTION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ............................................. 197 Construction à partir de la série exponentielle complexe .......................................................................... 197 Formulaire de trigonométrie, fonctions réciproques .................................................................................. 199 Principe de la construction à partir d'une intégrale .................................................................................. 200 V GÉOMÉTRIE AFFINE EUCLIDIENNE 1. ESPACE AFFINE EUCLIDIEN. NOTIONS DE BASE ............................................................................................. 201 Espace euclidien ............................................................................................................................................... 201 Angles dans le plan affine euclidien. Bissectrices ........................................................................................ 201 Couples de droites antiparallèles ................................................................................................................ 205 Inégalité triangulaire et formules d'Al Kashi ................................................................................................ 206 Triangles, quadrilatères et polyèdres euclidiens. Théorème de Pythagore .............................................. 207 Produit scalaire et orthogonalité de vecteurs et de droites ........................................................................ 208 Projection orthogonale sur une droite. Rapport de projection, trigonométrie ................................... 208 Expression du produit scalaire en termes de projections orthogonales ............................................... 210 Caractérisation des bissectrices par équidistance..................................................................................... 211 2. ORTHOGONALITÉ DES VARIÉTÉS AFFINES ............................................................................................. 212 Projection et symétrie orthogonales en dimension quelconque. Distance .............................................. 212 Translations. Affinités orthogonales ............................................................................................................. 213 Hyperplan médiateur. Médiatrice et plan médiateur................................................................................... 213 Médiatrices et hauteurs d'un triangle......................................................................................................... 215 Orthogonalité de droites et de plans dans l'espace ..................................................................................... 216 Projections orthogonales en dimension 3................................................................................................. 217 Plans perpendiculaires dans l'espace ............................................................................................................. 219 7 Table des matières 3. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE EUCLIDIENNE. ÉQUATIONS DES VARIÉTÉS ....................................... 221 Les différents types de coordonnées euclidiennes ...................................................................................... 221 Équations cartésiennes des droites du plan euclidien dans un repère orthononné ............................... 222 Équation d'une droite du plan en coordonnées polaires ........................................................................... 225 Équations de plans dans l'espace................................................................................................................... 226 Faisceaux de plans et couples d'équations d'une droite .......................................................................... 227 4. CERCLES ET SPHÈRES ....................................................................................................................................... 228 Le cercle dans le plan euclidien ...................................................................................................................... 228 Cercle circonscrit, orthoptique, d'Apollonius ........................................................................................... 229 Puissance d'un point par rapport à un cercle........................................................................................... 231 Paramétrisation. Cercle trigonométrique .................................................................................................. 231 Orientation du cercle et des arcs. Mesure d'un arc orienté .................................................................... 232 Équation cartésienne d'un cercle ................................................................................................................... 233 Equation d'un cercle en coordonnées polaires ........................................................................................ 234 Positions relatives de deux cercles ................................................................................................................. 235 La sphère en dimension 3 et en dimension n (n > 2) ................................................................................. 236 5. ANGLE INSCRIT. COCYCLICITÉ. CERCLE ET ARCS CAPABLES .................................................................... 239 Angle inscrit, angle au centre et angle de la tangente ................................................................................. 239 Angles inscrits et arcs interceptés. Bissectrice d'un angle inscrit. .......................................................... 240 Condition angulaire de cocyclicité, applications ...................................................................................... 242 Cercle et arc capables, applications ............................................................................................................... 245 Relation des sinus dans un triangle............................................................................................................ 246 Caractérisation angulaire des quadrilateres convexes inscriptibles ....................................................... 247 6. AIRES ET VOLUMES EUCLIDIENS ..............................................................................................................................248 Aire euclidienne du triangle, des polygones convexes, du disque. Applications .................................... 248 Volume euclidien du tétraèdre, du parallélépipède, de la boule ................................................................ 250 7. REPRÉSENTATION COMPLEXE DU PLAN EUCLIDIEN .................................................................................. .251 Équations complexes des droites et cercles ................................................................................................. 252 Forme complexe des homothéties et translations affines ........................................................................ 253 Birapport complexe et cocyclicité. Théorème de Ptolémée ...................................................................... 253 Birapport de points s.ur un cercle............................................................................................................... 255 Birapport complexe harmonique................................................................................................................ 256 8. NOTIONS DIFFÉRENTIELLES EUCLIDIENNES ................................................................................................... 258 Abscisse curviligne........................................................................................................................................... 258 Courbes cycloïdales. Hypocycloïdes et épicycloïdes ............................................................................... 259 Aires et volumes .............................................................................................................................................. 260 Courbure plane. Repère de Frenet. Cercle osculateur. Développée........................................................ 262 Courbes et surfaces de l'espace. Courbure, torsion. Courbure de Gauss ................................................ 264 9. POINTS CYCLIQUES ET FORMULE DE LAGUERRE. OMBILICALE............................................................. 267 Le plan euclidien et son complété projectif complexifié ........................................................................... 267 Formule de Laguerre ........................................................................................................................................ 268 VI ISOMÉTRIES ET SIMILITUDES AFFINES 1. ISOMÉTRIES AFFINES ....................................................................................................................................................... 269 Définition et caractère affine, exemples ....................................................................................................... 269 Le groupe des isométries, structure de produit semi-direct. ..................................................................... 270 Déplacements et antidéplacements ............................................................................................................ 271 Détermination d'une isométrie, prolongements. Isométrie conservant une partie............................... 272 Génération du groupe des isométries par les réflexions ............................................................................ 274 Décomposition canonique d'une isométrie affine : théorème de structure............................................ 275 2. LES ISOMÉTRIES DU PLAN ............................................................................................................................................. 276 Translation : exemple d'utilisation ................................................................................................................. 276 Réflexion. Produit de deux réflexions d'axes parallèles .............................................................................. 277 Rotation. Décomposition en produit de deux réflexions, produit de rotations ..................................... 279 Symétrie glissée................................................................................................................................................. 282 Étude de quelques produits d'isométries planes .......................................................................................... 283 8 La classification des isométries planes et ses démonstrations ................................................................... 284 Expression complexe des isométries planes ................................................................................................ 285 Actions sur les configurations et groupe d'une configuration .................................................................. 286 Détermination des isométries planes et cas d'égalité des triangles ........................................................ 287 Groupe d'un polygone régulier. Triangle équilatéral et carré ................................................................. 288 Groupe du rectangle (groupe de Klein) .................................................................................................... 291 Groupes de frises .......................................................................................................................................... 293 Groupes cristallographiques plans (pavages) ............................................................................................ 294 3. LES ISOMÉTRIES DE L'ESPACE .................................................................................................................................... 297 Translation et réflexion, produit de deux réflexions de plans parallèles .................................................. 297 Rotation de l'espace, produit de deux réflexions de l'espace de plans sécants ....................................... 298 Produit de deux rotations d'axes coplanaires ............................................................................................... 299 Vissage ou déplacement hélicoïdal. ............................................................................................................... 300 Symétrie glissée ................................................................................................................................................. 301 Antirotation affine ............................................................................................................................................ 301 Étude de quelques produits d'isométries de l'espace .................................................................................. 302 Classification par la méthode linéaire ............................................................................................................ 303 Classification par la méthode géométrique.................................................................................................. 303 Décompositions en produits de réflexions et retournements ................................................................... 305 Action sur les configurations et groupes de configurations classiques .................................................... 306 Groupe diédral spatial. ................................................................................................................................. 306 Groupe du tétraèdre régulier....................................................................................................................... 307 Groupe du cube ............................................................................................................................................ 309 Groupes finis d'isométries de l'espace .......................................................................................................... 312 4. SIMILITUDES AFFINES ..................................................................................................................................................... 312 Étude en toutes dimensions finies, caractérisations ................................................................................... 312 Similitudes planes, formes complexes ........................................................................................................... 315 Applications classiques des similitudes planes, cas de similitudes ........................................................ 322 VII CLASSIQUES DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE 1. FONCTION SCALAIRE DE LEIBNIZ ET APPLICATIONS .................................................................................. 327 La fonction scalaire. Théorème d'Apollonius et formule de Huygens .................................................... 327 Le cas LÀ; = O. Applications et exemples ................................................................................................... 328 Formule de Stewart et applications ............................................................................................................... 329 Le cas LÀ; '#-O. Applications et exemples .................................................................................................... 331 2. LE TRIANGLE ....................................................................................................................................................................... 332 Droites remarquables ; points classiques et coefficients barycentriques ................................................. 332 Relations métriques dans le triangle .............................................................................................................. 335 Théorème de Morley.................................................................................................................................... 336 Le triangle rectangle ......................................................................................................................................... 337 Problème de Napoléon : construction du centre d'un cercle au compas seul. ................................... 337 Triangles isocèles et équilatéraux ................................................................................................................... 338 Cercles inscrits et exinscrit. ............................................................................................................................. 339 Droite et cercle d'Euler. Théorème de Feuerbach ...................................................................................... 342 Droites de Simson et Steiner.......................................................................................................................... 344 3. LE CERCLE ............................................................................................................................................................................. 345 Homothéties et similitudes entre cercles ...................................................................................................... 345 Cercles tangents à une droite et un cercle donnés, à deux cercles donnés .......................................... 347 Cercles et sphères orthogonaux.................................................................................................................. 348 Points conjugués, pôle et polaire par rapport à un cercle .......................................................................... 349 Incidences entre pôles et polaires. Transformation par polaires réciproques ..................................... 352 Axe radical de deux cercles ............................................................................................................................. 352 Faisceaux de cercles ......................................................................................................................................... 353 Quadrangle harmonique .................................................................................................................................. 356 Théorème de Pascal, cas du cercle ("hexagramme mystique") ................................................................. 358 Table des matières 9 4. QUADRILATÈRE .................................................................................................................................................................. 360 Quadrilatères convexes euclidiens ................................................................................................................. 360 Groupes plans des parallélogrammes ............................................................................................................ 361 Inégalité et théorème généraux de Ptolémée. Quadrilatères inscriptibles .............................................. 362 L'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible................................................................................................ 363 5. CONVEXITÉ ........................................................................................................................................................................... 364 Projection. Hyperplans d'appuis et génération par demi-espaces ............................................................ 364 Propriétés topologiques des convexes .......................................................................................................... 365 Points extrémaux et théorème de Krein-Milman ........................................................................................ 367 Facettes et polyèdres ........................................................................................................................................ 367 6. SPHÈRE ET POLYÈDRES DE L'ESPACE. GROUPES FINIS D'ISOfvIÉTRIES ................................................ 368 Géométrie sphérique. Formule d'Euler........................................................................................................ 368 Polyèdres réguliers de l'espace euclidien ....................................................................................................... 370 Dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Groupes de ces polyèdres .............................................................. 371 Les cinq solides platoniciens ....................................................................................................................... 375 Groupes finis d'isométries de l'espace, classification .................................................................................. 377 Étude détaillée des tétraèdres ......................................................................................................................... 379 Tétraèdre orthocentrique ............................................................................................................................. 380 Tétraèdre équifacial. ...................................................................................................................................... 382 Tétraèdre régulier. Maximalité du volume ................................................................................................ 384 7. INÉGALITÉS ET OPTIMISATION ................................................................................................................................. 386 Somme des distances d'un point à plusieurs droites ................................................................................... 386 Somme et produit des distances aux sommets d'un triangle, point de Fermat...................................... 387 Produit des distances aux sommets d'un triangle ........................................................................................ 388 Théorème d'Erdôs-Mordell............................................................................................................................ 388 Optimisation du périmètre : une application du théorème des trois tangentes ..................................... 389 Triangle inscrit de périmètre minimal : théorème de Fagnano .............................................................. 389 VIII CONIQUES ET QUADRIQUES 1. FORJ\.ŒS QUADRATIQUES .............................................................................................................................................. 393 Généralités. Expression polynomiale, différentielle, matricielle. Rang .................................................... 393 Décomposition en carrés. Méthode de Gauss ......................................................................................... 394 Classification des formes quadratiques. Théorème d'inertie de Sylvester............................................... 397 Noyau. Isomorphisme avec le dual. .............................................................................................................. 398 Endomorphisme adjoint, auto-adjoint. ......................................................................................................... 398 Diagonalisation des matrices symétriques réelles .................................................................................... 399 Diagonalisation simultanée des formes quadratiques ............................................................................ .400 2. CONIQUES PROJECTIVES ............................................................................................................................................... 401 Généralités.Classification, équations ........................................................................................................... .401 Classification réelle et complexe des coniques. Cas de dégénérescence ............................................. .402 Points doubles des coniques dégénérées .................................................................................................. .403 Intersection avec une droite. Tangente. Équations et coniques tangentielles ....................................... .403 Différentes formes de l'équation. Bonne paramétrisation ....................................................................... .406 Intersection des coniques. Déterminations par points et intersections .................................................. .407 Détermination d'une conique par cinq points ......................................................................................... .411 Détermination d'une conique par intersections ....................................................................................... 412 Conjugaison par rapport à une conique. Dualité de polarité.................................................................... .413 Conservation du birapport de points alignés et de droites concourantes ........................................... .414 Droites conjuguées par rapport à une conique....................................................................................... .415 Duale d'une conique par polarité. Théorème dual. ................................................................................ .416 Conjugaison par rapport à une conique dégénérée en deux droites sécantes .................................... .417 Toute corrélation plane est une polarité ................................................................................................... .417 Birapport et homographie sur une conique ............................................................................................... .418 Birapport de points et de tangentes. Homographie et génération ....................................................... .418 Axe et centre d'homographie. Point de Frégier d'une involution ......................................................... 420 Théorèmes de Pascal et Brianchon ........................................................................................................... .421 10 Faisceaux de coniques ...................................................................................................................................... 422 Involution de Desargues associée à un faisceau ...................................................................................... 425 Théorème de Lamé. Transformation quadratique. Conique des neufs points .................................. .425 Faisceaux tangentiels de coniques ................................................................................................................. .427 3. CONIQUES AFFINES ......................................................................................................................................................... 428 Généralités : définition, dégénérescence, tangente ................................................................................... ..428 Réduction de l'équation d'une conique du plan affine. Classification ..................................................430 Conjugaison dans le cadre affine : centre,'cordes et diamètres .................................................................433 Diverses formes de l'équation d'une conique affine .................................................................................. .436 Faisceaux de coniques affines, nature des coniques .................................................................................. .437 Conique des centres. Conique des neufs points d'un quadrangle. Cercle d'Euler............................. .437 Les théorèmes de Pascal et Brianchon .......................................................................................................... 438 4. CONIQUES EUCLIDIENNES .......................................................................................................................................... 439 Généralités. Directions principales. Réduction de l'équation. Classification .......................................... 439 Génération monofocale : détermination par un foyer, une directrice et l'excentricité .................. _........ 442 Propriétés tangentielles. Premier théorème de Poncelet. ....................................................................... 444 Formulaire des coniques ordinaires. Différentes équations ................................................................... 446 Génération bifocale de l'ellipse réelle et de l'hyperbole ............................................................................. 448 Propriétés tangentielles des coniques ordinaires. Les théorèmes de Poncelet.. .................................. 450 Courbe orthoptique. Cercle de Monge..................................................................................................... .452 Générations tangentielles .............................................................................................................................453 Particularités de la parabole........................................................................................................................... .454 Particularités de l'ellipse ................................................................................................................................... 455 Ellipse et affinité orthogonale. Aire. Méthode de la bande de papier.................................................. 455 Théorèmes d'Apollonius ..............................................................................................................................457 Projection d'un cercle sur un plan ............................................................................................................. .458 Cercles osculateurs en les sommets .......................................................................................................... .458 Particularités de l'hyperbole ........................................................................................................................... .459 Propriétés relatives aux asymptotes ........................................................................................................... 460 Hyperbole équilatère .................................................................................................................................... 461 Diamètres et hyperboles conjugués. Théorèmes d'Apollonius ............................................................ .462 Section planes d'un cône de révolution ....................................................................................................... 463 Génération mono focale des sections coniques ....................................................................................... .463 Méthode de Dandelin : génération bifocale des sections coniques ...................................................... 464 5. QUADRIQUES ....................................................................................................................................................................... 466 Généralités ......................................................................................................................................................... 466 Classification euclidienne................................................................................................................................ 466 IX GÉOMÉTRIE ANALLAGMATIQUE ET CONFORME 1. L'INVERSION ........................................................................................................................................................ 469 Propriétés générales ; exemple : la projection stéréographique ................................................................ 469 Cercle ou sphère d'inversion ....................................................................................................................... 470 Caractérisation par cocyclicité de deux couples de points homologues ............................................... 471 Prolongement en une transformation du compactifié par un point à l'infini..................................... 471 Effet sur les configurations, les distances, les angles .................................................................................. 472 Application: démonstration du théorème de Ptolémée par inversion ................................................ 474 Dérivée et contact: l'inversion est conforme .......................................................................................... .474 L'inversion plane et sa représentation complexe. Sphère de Riemann ....................................................475 Conservation du birapport et des "cercles" .............................................................................................. 476 Propriétés de contact et inversion des angles .......................................................................................... .477 Réflexion par rapport à un cercle................................................................................................................... 477 Transmuée d'une inversion par une inversion............................................................................................. 478 Applications classiques de l'inversion .......................................................................................................... .479 2. GROUPE CIRCULAIRE DIRECT: LES HOMOGRAPHIES COMPLEXES ................................................. 483 Le groupe des homographies ........................................................................................................................ .483 Génération du groupe des homographies par les involutions ............................................................... 485 11 Table des matières Détermination d'une homographie par les images de trois points distincts .......................................... .485 Conservation du birapport et des "cercles", images des quadruplets ..................................................... .486 Conservation des angles orientés de courbes ............................................................................................. .487 Points fixes. Homographies paraboliques et non paraboliques ............................................................... .488 Méridiens et parallèles d'une homographie non parabolique .............................................................. ..490 Homographies elliptiques, hyperboliques, loxodromiques ................................................................... .491 Formes canoniques ....................................................................................................................................... 493 Images des "cercles" et "disques" ................................................................................................................. .494 Homographies du disque unité ................................................................................................................... 495 Homographies du demi-plan de Poincaré............................................................................................... .495 3. LE GROUPE CIRCULAIRE : HOMOGRAPHIES ET ANTIHOMOGRAPHIES ......................................... .498 Les transformations cirFulaires ...................................................................................................................... 498 Involutions et génération du groupe circulaire...................................................................................... ..499 Classification des transformations circulaires .............................................................................................. 500 Notice biographique ........................................................................................................................................ 503 Bibliographie ..................................................................................................................................................... 507 Index ................................................................................................................................................................... 509 I GÉOMÉTRIE AFFINE VARIÉTÉS, BARYCENTRE, INDÉPENDANCE. COORDONNÉES CARTÉSIENNES ET BARYCENTRIQUES. BIRAPPORT. GRANDS THÉORÈMES AFFINES CLASSIQUES. La géométrie affine utilise le calcul vectoriel pour traiter de propriétés liées à l'alignement, au parallélisme, à la proportionnalité, à l'exclusion des longueurs et des angles, qui sont du domaine de la géométrie euclidienne ; mais l'aire est une notion affine qui est définie par un déterminant. On traite ici la géométrie classique, pour laquelle le corps de base est le corps R des réels ; c'est ·donc sur ce dernier que l'on se place sauf mention expresse du contraire. Cependant, la plupart des notions introduites ont un sens sur la plupart des corps et l'on donnera parfois une définition ou une propriété pour un corps quelconque. L'algèbre linéaire élémentaire est supposé connu, ainsi que quelques notions sur les groupes. 1. ESPACE AFFINE. 1.1. Définitions élémentaires et terminologie. DÉFINITION : si Ë est un espace vectoriel sur un corps K, une structure d'espace affine de direction E sur un ensemble E est la donnée pour tout couple (A, B) de E xE d'un vecteur --> associé noté AB de sorte que : AB+ OC= Aê, b. V'M E E, V' ü E E' 3 ! N E E, ü = MN a. V'(A,B,C)E E 3 , (Relation de Chasles) ~ c Les éléments de E sont appelés des points (en géométrie, on dit parfois bipoint au lieu de "couple de points"), ceux du corps sont les scalaires; Ë est l'espace vectoriel directeur ou la direction de E. Dans le (b), l'écriture 3! N signifie qu'il existe un unique N tel que ~ ü = MN ; N est alors appelé le translaté de M par ü et on note A B tü l'application de E dans E qui à M associe ainsi le point N : c'est la translation de vecteur ü . On N = M + ü; cette dernière expression est la notation de Grassmann (n.b. : cela ne correspond pas à une loi interne additive usuelle). a donc tü (M) = N, ce qu'on note aussi: Les points et les vecteurs sont dans des espaces distincts, mais il est d'usage de les représenter sur une même figure comme ci-dessus. Le vecteur associé au couple (A, B) est représenté par une flèche reliant A à B ; cette flèche peut aussi représenter ce qu'on appelle, notamment en physique, un vecteur lié, c'est-à-dire le couple formé par un vecteur de Ë - alors appelé vecteur libre - et un point de E, pris pour origine. La dimension de l'espace affine est, par définition, celle de son espace vectoriel directeur. Un espace affine de dimension 1 (resp. 2) est une droite affine (resp. un plan affine). En géométrie classique du plan et de l'espace de dimension 3, K est le corps R des réels, ce qu'on supposera dans la suite, sauf mention spéciale. On emploie alors l'expression "dans le plan affine", car on verra qu'il n'y a qu'un seul plan affine réel, à isomorphisme près. De même, on emploie l'expression" dans l'espace affine", pour désigner un espace affine réel de dimension 3. 1.2. Définition en tennes d'opération de groupe. On peut aussi définir un espace affine en termes d'opération de groupe: DÉFINITION: une structure d'espace affine de direction Ë (e.v. sur un corps K) sur un ensemble E est la donnée d'une opération fidèlement transitive du groupe additif de Ë sur E. TERMINOLOGIE : une opération (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble E est un morphisme f du groupe G dans le groupe e(E) des bijections de E. Si fg est l'image de g par f, on note g.x l'image de xEE par fg et l'on a (gg').x=g.(g'.x) pour tous g,g' dans G et x dans E, ainsi que 1.x = x, où 1 désigne l'élément neutre de G. Cette opération est dite transitive si, pour tout couple (x,y) d'éléments de E, il existe gE G tel que g.x =y. Elle est dite fidèle si f est injectif; c'est alors un isomorphisme entre G et son image f(G). Dans le cas d'un espace affine, le groupe additif de l'espace vectoriel est isomorphe au groupe des translations via le morphisme ü H tü . Par ailleurs, une opération est dite librement transitive lorsqu'il y a unicité de l'élément g qui assure la transitivité: \i(x,y)EE2, 3! g E G, g.x =y; E est alors appelé un espace principal homogène sous G. On vérifie facilement que les notions d'opération "librement transitive" et d'opération "fidèlement transitive" coïncident lorsque G est abélien, ce qui est le cas pour un espace affine. On peut donc aussi définir un espace affine par une opération librement transitive du groupe additif de Ë . Remarque : dans la définition élémentaire du 1.1., la relation de Chasles est un axiome de la structure, tandis qu'elle se démontre à partir de la condition de morphisme pour la définition en termes d'opération de groupe. 1.3. Exemples. A. STRUCTURE AFFINE SUR UN ESPACE VECTORIEL. Il existe une structure canonique d'espace affine sur l'ensemble des éléments d'un espace vectoriel - -----> E : elle consiste à associer à chaque couple (A, B) le vecteur B -A ; la relation AB = B - A est ici -----> équivalente à la relation de Grassmann B = A + AB . B. STRUCTURE VECTORIELLE SUR UN ESPACE AFFINE. Inversement, tout espace affine E peut être muni d'une structure d'espace vectoriel par "transport de structure" puisqu'on peut l'identifier à Ë par le choix d'une origine 0, ce qui induit ---+ une correspondance bijective entre les points MEE et les vecteurs OM : l'espace vectoriel ainsi obtenu est appelé le vectorialisé de E en 0 et noté E 0 . Il y a une infinité de façons vectorialiser un espace affine, puisque le choix de 0 est arbitraire : il n'y a pas de structure canonique d'espace vectoriel sur E. 14 2. VARIÉTÉ AFFINE (SOUS-ESPACE AFFINE). 2.1. Définition générale. DÉFINITION: Soit E un espace affine d'espace directeur Ë (e.v. sur un corps K), un point A de E et un sous-espace vectoriel F de Ë. La variété affine (ou sous-espace affine) F de E passant par A et de sous-espace directeur (ou direction) F est l'ensemble des translatés de A par les vecteurs de F. Avec la notation de Grassmann, cela s'écrit F = A+ F. N.B. : un espace affine est l'ensemble des translatés d'un point quelconque par les vecteurs de son espace vectoriel directeur ; la notion de sous-espace en découle donc naturellement ; on emploie plus couramment la terminologie variété - on dit aussi" variété linéaire affine". Il est utile de remarquer que le sous-espace directeur F d'une variété affine F est l'ensemble des --> vecteurs MN associés aux couples de points (M,N) de F, ou encore, l'ensemble de tous les --> vecteurs AM associés aux couples (A,M) de F, pour A fixé dans F et M décrivant F. Une variété affine F possède une structure d'espace affine sur son espace vectoriel directeur F. On vérifie facilement qu'une intersection non vide de plusieurs variétés affines est une variété affine qui a pour direction l'intersection des sous-espaces directeurs des variétés en question. 2.2. Exemples. Plan affine d'un espace vectoriel : si E est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, un plan affine de Ë est une variété de la forme P = A+ P, où P est un plan vectoriel de Ë. Lorsque A est l'origine de Ë, ce plan affine est égal à P. Mais, à la différence d'un plan vectoriel, un plan affine de Ë ne passe pas toujours par l'origine. p / // / /,- --------------~---7 p // L____________________ / /// 0 J/ / La variété affine engendrée par une partie fJlJ d'un espace affine E est la plus petite variété affine contenant fJlJ : c'est l'intersection de toutes les variétés affines contenant fJlJ et c'est le translaté d'un point quelconque de fJlJ par le sous-espace vectoriel de E engendré par les vecteurs associés aux couples de points de fJlJ. On la note aff(fJlJ) ; fJlJ est appelée partie génératrice de cette variété. EXEMPLE: aff{A 1,A2 , .•• ,Aq} ------+ ------+ ------+ = A 1 + vect(A 1A 2 ,A 1A 3 , ... ,A 1Aq ), où vect(...) désigne le sous-espace vectoriel engendré. Ainsi, deux points distincts A,B engendrent une droite affine notée (AB) dont la direction est la ----+ droite vectorielle D engendrée par AB ; ce dernier vecteur, comme tout générateur de D, est appelé vecteur directeur de la droite affine. Trois points non alignés A, B, C engendrent un plan ----+ ----+ affine, noté (ABC), dont la direction est le plan vectoriel vect( AB, AC), et tout couple de vecteurs engendrant ce dernier est appelé couple de vecteurs directeurs du plan affine. Un hyperplan affine est une variété affine de dimension n - 1 d'un espace affine de dimension n. 2.3. Parallélisme. Si F et G sont deux variétés affines, on dit que F est parallèle à G lorsque le sous-espace directeur de la première est contenu dans celui de la seconde ; on emploie parfois la terminologie faiblement parallèle lorsque la dimension de F est strictement inférieure à celle de G. Deux variétés affines de même dimension sont dites parallèles lorsqu'elles ont le même sous-espace vectoriel directeur ou, plus brièvement, la même direction. 15 I Géométrie affine &--/_ ___,./ // "---/ _______,./ &--/_ ___,./ 2.4. Exercices. 1. Montrer qu'une partie non vide F d'un espace affine réel, non réduite à un point, est une variété affine s.s.si pour tout couple (A,B) de points distincts de F, la droite (AB) est contenue dans F. 2. Montrer que deux variétés affines parallèles et de même dimension d'un espace affine sont disjointes ou confondues. 3. Dans un espace affine E muni d'une origine 0 fixée, soit deux variété affines F et F' ainsi qu'un ---+ ---+ réel k. A tout couple (M,M') de FxF', on associe le point N tel que ON = (1- k) OM + k OM'. Montrer que l'ensemble des points N quand (M,M') décrit FxF' est une variété affine. ~ 2.5. Équations vectorielles. Soit E un espace affine de direction Ë (e.v. sur K), D une droite affine passant par un point A et de vecteur directeur Ü, ce qu'on notera systématiquement D(A, ü ), on a l'équivalence : --> MED <=> 31..EK, AM= ÀÜ. --> AM = Àü est l'équation vectorielle paramétrique de la droite. Elle détermine une correspondance bijective entre les valeurs réelles du paramètre À et les points M de D. --> AM =Àü Dans un espace affine réel E, la demi-droite fermée d'origine A de vecteur directeur ü est --> --> D+(A, ü) = {MEE, 31..ER+, AM =À ü }. Lorsque ü =AB, on la note [AB) et l'on note ]AB) la demi-droite ouverte [AB)\ {A}. Le plan P passant par le point A et de vecteurs directeurs ( ü, v) sera noté P(A, ü, v). C'est l'ensemble des points M de l'espace pour lesquels il existe deux scalaires À, µ tels que --> AM =À ü + µ v. Cette égalité est l'équation vectorielle paramétrique du plan ; elle définit une bijection entre K2 et le plan. En toute dimension finie, une variété affine a une équation vectorielle paramétrique de ce type, avec un nombre de paramètres égal à sa dimension. 2.6. Propriétés d'incidence des variétés affines (positions relatives). 2.6.1. Étude générale. La dimension de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels F et G d'un même espace vectoriel Ë est soumise à la relation classique: dimF + dimG = dim(F + G) + dim(FnG), avec dim(F + G) = dimË lorsque F et G engendrent Ë. Dans le cadre affine, on a les propriétés correspondantes pour deux variétés affines F et G d'intersection non vide : si A E F n G , on a F = A + F, G = A + G et F n G = A + F n G. On est ainsi ramené à l'étude de l'intersection vectorielle et l'on a : 16 THÉORÈME : dans un espace affine E de direction E , deux variétés affines A + F et B + G (où A et B sont des points de E, F et G sont des sous-espaces vectoriels de Ë) ont un point ----> commun C s.s.si le vecteur AB est élément de F + G. Leur intersection est alors égale à C + Fn G et il y a une correspondance bijective entre les points de cette intersection et les ----> décompositions AB = ü + v, où ü et v sont respectivement dans F et G. En particulier, si F + G = Ë, l'intersection est non vide et, si F(±) G= Ë, elle est composée d'un point unique. ----> Les deux sous-variétés F et G sont égales s.s.si on a F = G et AB est élément de cet espace. 0 Soit F =A+ F et G = B + G. Un point C de E est dans FnG s.s.si il existe (ü, v) E Fx G tel ----> que C = A+ ü = B + v, ce qui équivaut à B = A+ ü -v, ou encore : AB= ü - v. L'existence de C ----> dans F Il G équivaut donc à celle de ( ü , v) E F x G tel que AB = ü -v, et la correspondance entre ----> le point C de FnG et le vecteur ü de cette décomposition de AB est une bijection entre FnG et ----+ -- - - l'ensemble de ces décompositions de AB dans F + G. On a alors F = C+ F, G = C + G d'où: -- -- -----+ -- FnG = C + F n G. Lorsque F + G = E, AB est élément de F + G et l'intersection est non vide ; ----> si la somme est directe, AB se décompose de manière unique et le point d'intersection est unique. On a F = G s.s.si F et G ont même direction et un point commun, d'où la fin de l'énoncé. • 2.6.2. Positions relatives de droites et plans en dimensions 2 et 3. A. DROITES DANS LE PL\N. De 2.6.1., il résulte que deux droites D(A, Ü) et D(B, v) d'un même plan affine sont : ----> a - confondues s.s.si les vecteurs Ü , v ,AB sont tous colinéaires. ----> b- parallèles disjointes s.s.si ü et v sont liés et AB ne leur est pas colinéaire. c - sécantes en un point d'intersection unique s.s.si Ü et v sont libres. B. RÉGIONNEMENT DU PL\N. TERll-IINOLOGIE. Dans un plan affine réel P, une droite D = D(A, ü) détermine deux demi-plans ouverts: si (ü, v) est une base de côté de P, le demi-plan ouvert du D v ( resp. du côté opposé à v) est l'ensemble p+ ( resp. P-) des ------> points M de P tels que AM se décompose dans la base ( ü , v) avec une composante strictement positive ( resp. strictement négative ) sur v. Un demi-plan fermé est la réunion d'un demi plan ouvert avec D. Deux droites D et D', sécantes en 0, déterminent quatre secteurs angulaires S1 , S2 , S3 , S4 , qui sont chacun l'intersection de deux demi-plans associés respectivement à D et D', et qui sont ouverts ou fermés selon que les demi-plans le sont. 17 1 Géométrie affine Deux demi-droites Dt (0, ü) et n; (0, v), de même origine et non contenues dans une même droite, déterminent un secteur angulaire saillant qui est l'ensemble des points M du plan tels que --> v. OM est combinaison linéaire à coefficients positifs de ü et Elles déterminent aussi un cône, réunion du secteur angulaire saillant et de son symétrique par rapport à 0 (comme S1 et S3 , ou bien S2 et S4 sur la figure). Les secteurs et cônes sont ouverts ou fermés selon qu'ils contiennent ou non les demi-droites en question. Les mêmes demi-droites Dt (0, ü) et n; (0, v) D' D' déterminent également un secteur angulaire rentrant fermé (resp. ouvert) qui est le complémentaire de leur D D secteur angulaire saillant ouvert (resp. fermé). secteur angulaire saillant de D, D' secteur angulaire rentrant de D, D' C. DROITES DANS L'ESPACE. Il résulte de 2.6.1. que deux droites D(A, ü) et D(B, v) d'un espace affine de dimension 3 sont : v --> a- confondues s.s.si les vecteurs Ü, ,AB sont tous colinéaires. b - parallèles disjointes s.s.si ü et v sont liés et --> AB ne leur est pas colinéaire. c- sécantes en un point d'intersection unique s.s.si ü et d- non coplanaires, et donc disjointes, s.s.si ü et ----+ v sont libres et AB E vect( ü , v). v sont libres et ----+ AB ------- vect( ü , v). ~ >< Les droites sont coplanaires dans les trois premiers cas seulement ; on en déduit que cela ne se produit que s.s.si ü , ----+ v et AB sont liés : D(A, ü) et D(B, v) sont coplanaires s.s.s1 1ü , v, ----+ AB 1= 0 D. DROITES ET PU.NS D.-\NS L'ESPACE. Dans un espace affine de dimension 3, soit D une droite de direction D et P un plan de direction P passant respectivement par les points A, B. Alors, par application de 2.6.1., on a : - - -----}> - a- la droite est contenue dans le plan s.s.si: DcP et ABE P. - - b- la droite est disjointe du plan et parallèle à lui s.s.si De P et -----}> AB~ - P. c- la droite est sécante en un point d'intersection unique avec le plan s.s.si ____.......,,/ / 7 ~/_/ ,,_/ 18 / / Ï>a:P.

Author Yves Ladegaillerie Isbn 9782729814168 File size 51.7MB Year 2003 Pages 528 Language French File format PDF Category Mathematics Book Description: FacebookTwitterGoogle+TumblrDiggMySpaceShare Cet ouvrage est un cours complet de géométrie classique. Après une construction cohérente de toutes les notions de base à partir de l’algèbre linéaire, on y fait de la ” vraie ” géométrie, avec plus de 800 figures. Il contient, en particulier : l’étude très détaillée des géométries affine, projective, euclidienne et de toutes les transformations correspondantes ; l’étude des configurations du plan et de l’espace, des triangles et cercles aux pavages, polyèdres réguliers et leurs groupes ; tous les classiques euclidiens et les grands théorèmes, de Pythagore à Feuerbach et Morley ; les coniques projectives, affines et euclidiennes, et les théorèmes célèbres, d’Apollonius à Pascal et Poncelet ; l’étude du groupe circulaire – ou de Moebius – engendré par les inversions et constitué par les homographies et anti-homographies complexes : c’est la géométrie ” anallagmatique “. Ce livre peut être utilisé par les étudiants des premier et second cycles universitaires, par les élèves-professeurs ainsi que par les professeurs des lycées et collèges, dans le cadre de leur formation continue et, notamment, la préparation de l’agrégation interne de mathématiques. De façon générale, il est destiné et dédié à tous les amateurs de géométrie et, par son abord élémentaire des notions, est accessible à tous ceux qui connaissent les bases de l’algèbre linéaire     Download (51.7MB) PREPA CAPES MATHS 2016 Analyse Théorie Des Jeux, Stratégies Et Tactiques Analyse : Recueil d’exercices et aide-mémoire volume 2 Cinq siècles de mathématiques en France Le Krav-Maga: Techniques et enchaînements spécial forces de l’ordre Load more posts

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