Électromagnétisme : Propagation et lignes électriques by Jean-Luc Dion


895b3af1e5487c8-261x361.jpg Author Jean-Luc Dion
Isbn 2923565207
File size 2.3MB
Year 2003
Pages 304
Language English
File format PDF
Category physics


 

Jean-Luc Dion Électromagnétisme propagation lignes électriques LD Loze-Dion éditeur Copyright ” Loze Dion éditeur inc. Loze Dion éditeur 95, Saint Sylvestre Longueuil (Québec) J4H 2W1 Téléphone : (450) 679 1955 fax : (450) 679 6339 Tous droits réservés. On ne peut reproduire, enregistrer, ni diffuser aucune partie du présent ouvrage sous quelque forme ou par quelque procédé que ce soit sans avoir une autorisation écrite de l'éditeur. ISBN 978-2-923565-20-0 Cet ouvrage sur la propagation des ondes électromagnétiques s’adresse aux étudiants en génie électrique et en physique des universités et des écoles d’ingénieurs. Il sera aussi utile à tous les praticiens qui veulent rafraîchir ou approfondir leurs connaissances. On y trouvera un traitement relativement complet du sujet par rapport à de nombreux livres dans le domaine. Il fait suite au tome 1 traitant des phénomènes d’induction électromagnétiques. Toutefois, le présent tome peut être utilisé avantageusement par tous ceux qui ont déjà les bases requises. L’ouvrage se divise en deux parties assez étroitement intégrées : la propagation libre, et la propagation guidée. L’ensemble vise l’acquisition d’une connaissance rigoureuse et pratique des phénomènes de propagation électromagnétique dans différents milieux. Il suppose au départ une bonne maîtrise de l’électromagnétisme fondamental, du calcul vectoriel et du calcul des variables complexes, essentiellement l’usage du théorème d’Euler et de la fonction exponentielle complexe pour décrire les vibrations. L’auteur a choisi l’approche la plus intuitive possible en utilisant de nombreuses illustrations et exemples numériques. Il a aussi privilégié les démonstrations claires où beaucoup d’étapes intermédiaires sont volontairement conservées pour faciliter la compréhension en évitant de se buter sur des difficultés mathématiques secondaires. Lors d'une première lecture, on peut facilement sauter ces étapes pour saisir l’ensemble d’un sujet donné. Tous les chapitres se terminent par une série d’exercices identifiés permettant de pratiquer les diverses notions introduites. La première partie comporte une brève introduction à la propagation et au mode de production des ondes électromagnétiques sur la base des équations de Maxwell. La notion de vecteur complexe en régime harmonique est introduite pour faciliter le traitement mathématique dans tout ce qui suit, en faisant bien ressortir que la partie réelle d’un vecteur complexe correspond au champ réel. On traite ensuite à fond de la propagation des ondes planes dans différents milieux illimités : vide et diélectrique parfaits, diélectriques réels et conducteurs. L’atténuation des ondes en cours de propagation est démontrée comme un effet général des pertes diélectriques et de la conductivité du milieu. La relation est ensuite établie entre le champ électromagnétique et la puissance transportée par une onde. iv Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques La transmission de l’énergie électromagnétique à l’interface de deux milieux se retrouve dans les deux chapitres suivants. Le premier traite du cas simple de l’incidence perpendiculaire ou normale à l’interface, en introduisant les concepts de coefficients de réflexion et de transmission. Il comporte aussi une introduction aux ondes stationnaires. Le chapitre 3 traite de l’incidence oblique en distinguant le cas d’une onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence et celui de l’onde polarisée parallèlement. On introduit l’expression générale d’une onde qui se propage dans une direction quelconque. Les expressions exactes des coefficients de réflexion et de transmission dans les deux cas y sont démontrées : les formules de Fresnel. Ce chapitre se termine par une introduction au concept d’onde évanescente qui prend toute son importance pratique dans les nouveaux dispositifs de communication optique, y compris les fibres optiques. Le dernier chapitre de cette première partie est une brève mais rigoureuse introduction au rayonnement électromagnétique produit par des charges et courants oscillants. La deuxième partie de l’ouvrage traite de la propagation guidée des ondes électromagnétiques. Le chapitre 5 étudie les conditions de propagation entre des plans conducteurs ou guides d’ondes « ouverts ». Cette approche permet d’introduire de façon relativement simple les notions de mode de propagation, de fréquence de coupure, de vitesse de phase et de vitesse de groupe. Ce qui est traité dans ce chapitre s’applique assez directement à la propagation dans les « microrubans » utilisés dans les circuits hyperfréquences. On y démontre particulièrement les expressions de l’atténuation dans les différents modes. Les méthodes et les concepts développés devraient aussi beaucoup faciliter l’étude ultérieure des guides d’ondes « fermés », rectangulaires, circulaires ou autres. Les chapitres suivants sur les lignes électriques pourraient être abordés, si on le désire, sans avoir étudié la propagation guidée au chapitre précédent, l’ordre proposé ici est préférable sans être essentiel. En effet, on y développe le concept de paramètres localisés d’une ligne qui permet d’une façon classique d’utiliser la méthode des circuits électriques pour développer les équations de propagation de la tension et du courant électrique sur la ligne. On commence par étudier le cas des lignes semi-infinies sans pertes pour introduire certains concepts comme ceux d’impédance caractéristique et de coefficient de réflexion. La propagation et la réflexion des ondes en échelon y sont étudiées pour illustrer les problèmes qui peuvent se poser en pratique dans le cas de réflexions multiples sur la ligne. L’introduction de v théorèmes des interrupteurs permet de résoudre le problème des lignes initialement chargées ou parcourues par un courant qui sont ensuite fermées sur une charge. L’auteur a délibérément choisi de ne pas utiliser le formalisme de la transformée de Laplace pour décrire les ondes en échelon, de façon à ne pas obscurcir l’essentiel qui est de bien comprendre les phénomènes de propagation et de réflexion. Au chapitre 7, on aborde la propagation sur les lignes semi-infinies avec pertes en régime harmonique, en utilisant systématiquement la fonction exponentielle complexe pour décrire les vibrations et les ondes. On analyse l’effet de la fréquence sur la fonction de propagation et l’impédance caractéristique qui sont des grandeurs complexes. On y étudie aussi la variation des paramètres linéiques en fonction de la fréquence pour en tirer des expressions du coefficient d’atténuation d’une ligne quelconque en fonction de la fréquence, en rapport avec l’effet pelliculaire vu précédemment. Le chapitre 8 traite finalement de la ligne réelle comme liaison entre une source et un récepteur en régime harmonique. Les notions précédentes y sont intégrées pour élaborer des expressions générales et rigoureuses servant à la solution de problèmes concrets dans le domaine des communications et de la transmission de l’énergie électrique en général. On y développe le concept de coefficient de réflexion généralisé et sa relation avec celui d’impédance électrique, sur la ligne pour établir clairement les relations entre les grandeurs d’entrée et de sortie, en relation avec la fréquence et les paramètres de la ligne. Ces différents concepts sont clarifiés par de nombreux graphiques et figures réalisés par ordinateur. On y décrit particulièrement des méthodes simples et vérifiées en laboratoire pour déterminer les paramètres essentiels d’une ligne que sont la vitesse de phase, l’impédance caractéristique et le coefficient d’atténuation. L’outil graphique appelé abaque de Smith est décrit avec des exemples d’application, particulièrement pour le problème d’adaptation de l’impédance d’une charge au récepteur à celle de la ligne. Au terme de cette étude, l’auteur espère que l’étudiant ou l’étudiante aura acquis une solide connaissance des phénomènes de propagation électromagnétique lui permettant à la fois de résoudre divers problèmes pratiques et d’approfondir le sujet par lui-même s’il le désire. Mars 2002 Table des matières Introduction Première partie Propagation libre 1 1 Ondes électromagnétiques planes 3 1.1 Généralités 3 1.2 Production des ondes électromagnétiques 6 1.3 Le régime harmonique 7 1.4 Onde plane dans un diélectrique parfait 10 1.5 Polarisation d'une onde 19 1.6 Expression du champ magnétique H 24 1.7 Propagation dans un diélectrique avec perte 26 1.8 Propagation dans un conducteur 32 1.9 Théorème de Poynting 35 2 3 4 Réflexion d'une onde plane - Incidence normale 51 2.1 Interface de deux diélectriques parfaits 52 2.2 Interface diélectrique - conducteur 56 2.3 Ondes stationnaires 59 Réflexion d'une onde plane • Incidence oblique 69 3.1 Onde plane - Direction quelconque 69 3.2 Réflexion oblique 72 3.3 Lois de Descartes et Snell 73 3.4 Réflexion en polarisation perpendiculaire 76 3.5 Polarisation parallèle 82 3.6 Onde évanescente 87 Rayonnement électromagnétique 98 4.1 Potentiels retardés 99 4.2 Régime harmonique 104 viii Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques 4.3 Rayonnement d'un dipôle oscillant - Ondes sphériques 105 4.4 Vecteur de Poynting, intensité, puissance 110 Deuxième partie Propagation guidée 113 5 Guides d'onde conducteurs 115 5.1 Généralités 115 5.2 Types d'ondes et modes de propagation 119 5.3 Plans conducteurs parallèles - Mode TEM 120 5.4 Mode TM 126 5.5 Mode TE 135 5.6 Types de vitesse 143 6 7 8 Lignes électriques sans perte 150 6.1 Généralités 150 6.2 Bases du modèle 159 6.3 Équation et fonction d'onde 161 6.4 Impédance caractéristique 169 6.5 Source avec résistance interne 172 6.6 Réflexion 172 6.7 Théorèmes des interrupteurs 180 Lignes semi infinies avec perte 198 7.1 Équation d'onde - Amplitude complexe 198 7.2 Fonctions d'onde - Atténuation 200 7.3 Analyse de la fonction 204 7.4 Paramètres linéiques - Effet de la fréquence 211 7.5 Impédance caractéristique 220 7.6 Impédance caractéristiques et paramètres géométriques 222 Lignes finies avec perte 235 8.1 Fonctions d'onde 235 8.2 Changement de coordonnées 236 ix 8.3 Coefficient de réflexion 236 8.4 Ondes stationnaires 240 8.5 Impédance sur la ligne 245 8.6 Mesures d'une ligne 257 8.7 Relations entrée/sortie 260 8.8 Propriété des lignes avec charge capacitive 269 8.9 L'abaque de smith 272 8.10 Adaptation d'impédances 278 Annexe 291 Index 295 Partie 1 Propagation libre 1 Ondes électromagnétiques planes 1.1 Généralités Concept de propagation Considérons une région E de l’espace (Figure 1.1.1) où se trouve un courant variable i(t) ou une charge Q ayant une accélération a(t). Si un observateur se trouve dans une région R éloignée d’une distance moyenne r de la première, l’expérience montre qu’il pourra alors mesurer une tension v aux bornes d’un circuit, ou encore une force F déplaçant une charge d’épreuve Q’. De plus, cette tension ou cette force apparaissent avec un certain retard t par rapport à i(t) ou a(t), et ce retard augmente proportionnellement à la séparation r des régions E et R. On doit donc conclure qu’il y a transmission d’énergie de la région E (émettrice) à la région R (réceptrice). On sait depuis les travaux de J.C. Maxwell1 que des courants variables et des charges accélérées sont à l’origine d’un champ électromagnétique qui se propage dans le vide à la vitesse de lumière désignée par c, et à une vitesse inférieure dans les milieux matériels. Cette vitesse est aujourd’hui connue avec précision : 8 8 c = 2,997925... · 10 m/s ≈ 3 · 10 m/s Il s’ensuit que le retard mentionné plus haut est donné par τ ≈ r/c . 1 James Clerk MAXWELL, physicien écossais (1831-1879). Dans un mémoire publié en 1864, il exposa sa théorie électromagnétique de la lumière dans laquelle figurent les équations générales du champ électromagnétique. (1.1.1) 4 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Ce champ électromagnétique est décrit par les équations de Maxwell que nous avons vues précédemment : ρ (1.1.2) 0 (1.1.3) ∂B ∂t (1.1.4) ∂D ∂t (1.1.5) ∇·D Le théorème de Gauss La loi de conservation du flux magnétique ∇·B L’équation de Maxwell-Faraday L’équation de Maxwell-Ampère ∇∧E ∇∧H J + En tous points de l'espace et en tout temps, les champs E et H doivent satisfaire ces équations. Ces champs sont indissociables et constituent le champ électromagnétique. Dans ce qui suit, nous allons particulièrement voir comment la solution de ces équations fait apparaître un champ électromagnétique qui se propage. E R Espace vide r i(t) F Q' v Q Énergie a - Courant variable i (t ) - Charge Q accélérée - Tension induite v - Force F sur Q' Figure 1.1.1 Transmission d’énergie par onde électromagnétique 1 Ondes électromagnétiques planes 5 Le spectre électromagnétique Une charge ou un courant oscillant à une fréquence f font apparaître un champ électromagnétique à la même fréquence pour un observateur immobile par rapport à la source. Ce champ se propage à une vitesse c dans le vide et parcourt une distance λ , appelée longueur d'onde au cours d'une période d'oscillation. Donc, λ = c/f, une relation fondamentale. L'étendue des fréquences ou des longueurs d'ondes dans le vide des ondes électromagnétiques connues s'appelle le spectre électromagnétique. Ce spectre n'a pas de limites théoriques, mais les modes de production et de détection de ces ondes varient considérablement avec la fréquence. Il est remarquable que les équations de Maxwell s'appliquent essentiellement à toutes. Rappelons que c'est vers 1862 que ce dernier a prédit l'existence de ces ondes et a établi la nature électromagnétique de la lumière. Les expériences de Hertz (1888) ont confirmé brillamment l'oeuvre théorique de Maxwell et il a laissé son nom à ce type d'ondes2 : les ondes hertziennes. Les importants travaux de Branly3 sur la détection des ondes électromagnétiques ont par la suite permis les premières applications par Popov4 et Marconi5. La figure 2 est une représentation du spectre électromagnétique. 2 Heinrich HERTZ. Physicien allemand (1857-1894). Après avoir conçu son résonateur et son oscillateur, il découvrit les ondes électromagnétiques qui portent son nom (1888) et montra qu'elles suivent les mêmes lois que la lumière. Il découvrit en outre l'effet photoélectrique (1887), établissant un nouveau lien entre l'optique et l'électricité (Petit Robert 2). 3 Édouard BRANLY. Universitaire et physicien français (1844 - 1940) surtout connu pour son invention d'un radioconducteur ou « cohéreur » à limaille en 1890, organe principal des appareils de réception de la télégraphie sans fil (Le Petit Robert 2). Au cours de l’année 1890, il fit de nombreuses expériences démontrant l’action à distance d’une décharge électrique, jusqu’à 20 m, sur son « radioconducteur ». Il fut le premier à attribuer cet effet, cette transmission d’un « signal », à des ondes de nature électrique. Il fut l’un des tout premiers à utiliser le mot « radio » associé à ce genre de phénomènes. «Tous les pionniers de la T.S.F., Popov, Ducretet, Marconi et bien d’autres construiront leurs appareils récepteurs autour du tube à limaille de Branly... » (« Branly - Au temps des ondes et des limailles », P. Monod-Broca, Belin, Paris, 1990, p. 178). Membre de l’Académie des Sciences de Paris. 4 Aleksandre Stepanovitch POPOV. Ingénieur russe (1859 - 1906). Il eut l'idée d'utiliser les ondes électromagnétiques découvertes par Hertz pour transmettre des signaux. Il inventa l'antenne en combinant l'éclateur de Hertz et le cohéreur de Branly, remarquant que leurs sensibilités respectives augmentaient si on les reliait à un fil conducteur formant un condensateur avec la terre. Il construisit le premier système de télégraphie sans fil (1896) permettant la transmission d'un message en morse à 250 m (Le Petit Robert 2). 5 Guglielmo MARCONI. Physicien italien (1874 - 1937). Avec l'éclateur de Hertz, le cohéreur de Branly et l'antenne de Popov il construisit, à 22 ans, un poste qui permettait des transmissions par télégraphie sans fil sur quelques centaines de mètres. (...) Il augmenta progressivement la longueur de ses transmissions et réussit, en 1901, la liaison Cornouailles - Terre-Neuve, au-dessus de l'Atlantique (Prix Nobel, 1909) (Le Petit Robert 2). co sm iqu es mm a Ra yo ns ga ns yo Ra On Ra yo ns X de sm oy en ne On s de sc ou rte s M (hy icro pe -on r-fr de éq s ue nc es Inf rar ou ge Vis ibl e Ult ra v iole t on gu es de sl On Tra ns mi ssi on d 'én erg ie Ondes hertziennes RADIO TÉLÉVISION 10 6 10 2 6 10 14 10 10 Fréquence (hertz) 10 2 18 10 10 Longueur d'onde (mètre) -2 -6 10 -10 10 10 22 10 -14 10 Figure 1.1.2 Représentation du spectre électromagnétique 1.2 Production des ondes électromagnétiques Les potentiels retardés D'une façon générale, les ondes électromagnétiques sont produites par des charges et des courants variables. On sait que le potentiel électrique V d'une distribution continue statique de charges de densité r dans le vide est donné par l'expression suivante : 1 4πεo V v ρ dv r (1.2.1) De même, dans le vide, le potentiel-vecteur A d'une densité de courant J stationnaire s'exprime comme : A= μ0 4π ∫ J dv (1.2.2) r v Les intégrales sont calculées sur tout volume englobant toutes les charges et tous les courants. Mais, si les densités sont variables dans la région E de la figure 1.1.1, ρ(t) et J(t), l'effet de ces variations se fera sentir avec un retard τ dans la région R. Il est donc naturel de penser que les potentiels dans R 1 Ondes électromagnétiques planes 7 peuvent s'écrire comme si les densités de charge et de courant étaient retardés, c'est-à-dire de la forme ρ(t - r/v) et J(t - r/v), où v est la vitesse de propagation. De façon générale : [V ](t) [A](t) 1 4πεo ρ(t r/v ) r v dv (1.2.3) μo J(t r/v ) dv r 4π v (1.2.4) Ce sont les potentiels retardés. Ils représentent les potentiels en un point P de l’espace à l’instant t, mais calculés avec les densités de charge et de courant telles qu’elles étaient à l’instant précédent t - r/v. L’intervalle r/v est le temps que met la perturbation ou l’onde à franchir la distance de la source au point P. Remarquons que ces perturbations se produisent sensiblement au même instant à très grande distance de R, sur une surface sphérique centrée sur R dans un milieu homogène et isotrope, c'est-à-dire un milieu de même composition en tous points où la vitesse est la même dans toutes les directions. Connaissant ces potentiels, on peut en tirer les expressions du champ E et du champ H, à partir des équations connues : ∇V E H et 1.3 B μo ∂A ∂t (1.2.5) 1 ∇∧A μo (1.2.6) Le régime harmonique Champ complexe Dans le cas de variations sinusoïdales de pulsation ω = 2πf, f étant la fréquence, il est pratique d'exprimer les diverses grandeurs sous forme de fonctions exponentielles complexes dont la partie réelle est la grandeur réelle : ρ t r/v ρ ejω t - r/v ρ e-jωr/v ejωt t (1.3.1) 8 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques J ( t − r / v ) = Je jw ( t − r / v ) = Je -jwr / v e jwt (1.3.2) jω t (1.3.3) jω t (1.3.4) V(t) = V e A(t) = A e où ρ, J , V et A sont les amplitudes complexes des diverses grandeurs. Plus particulièrement, J et A sont des vecteurs complexes, des vecteurs dont les composantes sont des nombres complexes. On a, par exemple : Pour le potentiel réel V(t) = Ré {V (t)} = |V | cos (ω t) = V cos (ω t) (1.3.5) Pour le champ A = Ax x + Ay y + Az z (1.3.6) A = A x eja x + A y ejb y + A z ejc z = A x eja x + A yejb y + A ze jc z (1.3.7) où Ax, Ay, Az sont les amplitudes réelles. On obtient le champ en fonction du temps en multipliant par ejω t : A(t) Aejω t A xej(ω t + a) x + A yej(ω t + b) y + A z ej(ω t + c) z (1.3.8) La composante sur x du champ réel est alors : A x(t) Ré{A x ej(ω t + a)} A x cos (ω t + a) etc. (1.3.9) Potentiels retardés – Rayonnement Portant les relations (1.3.1) à (1.3.4) dans (1.2.3) et (1.2.4), on obtient les amplitudes complexes des potentiels retardés produits par les charges et les courants au point P de l'espace : [V ](r) [A ](r) 1 4π εo v ρ e-jω r/v dv r μo J e-jω r/v dv r 4π v 1 4πεo v ρ e-jkr dv r μo J e-jkr dv r 4π v (1.3.10) (1.3.11) 1 Ondes électromagnétiques planes 9 où k = ω/v est la constante de propagation, ou encore la constante de phase. C'est aussi le module du vecteur d'onde6. On place les potentiels entre crochets pour bien indiquer ici que ce sont des potentiels retardés. Ces crochets peuvent être supprimés par la suite. La substitution de ces dernières relations dans (1.2.5) et (1.2.6) permet de trouver les expressions du champ électromagnétique en tous points de l'espace : c'est le phénomène de rayonnement. On peut ensuite trouver la puissance rayonnée dans toutes les directions. Production d’une onde plane Ici toutefois, nous allons limiter l'étude à celle du cas où la région d'émission E est extrêmement loin du point d'observation P sur l'axe 0-Z passant par le centre de E. À cette condition, il est évident qu'à un instant donné, le champ a la même valeur en tous points d'un plan XY perpendiculaire à 0-Z, car la distance à E est essentiellement la même en tous points du plan (Figure 1.3.1). Nous allons démontrer que dans ce cas simple, les solutions des équations de Maxwell sont des fonctions d'onde relativement simples et que le champ électromagnétique est sous forme d'une onde plane qui se propage en s'éloignant de la région E. Y Source X Énergie 0 Z Figure 1.3.1 Cas d'une source à l'infini sur 0-Z : tous les points d'un plan normal XY sont à la même distance de la source 6 Cette grandeur est aussi désignée par la lettre grecque β . 10 1.4 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques Onde plane dans un diélectrique parfait Expression générale de l’équation de propagation du champ électromagnétique On peut partir des équations (1.1.4) et (1.1.5) pour obtenir une équation en z et t qui s'applique à la propagation dans le vide ou dans un diélectrique parfait où la densité de charge et la densité de courant sont nuls ρ 0, J 0 . Voyons comment le faire. Ces équations deviennent : ∇∧E μo ε ∇∧H ∂H ∂t (1.4.1) ∂E ∂t (1.4.2) Il s'agit d'éliminer une des inconnues, H en l'occurrence. Prenons le rotationnel des deux membres de la première équation : ∇∧∇∧E μo ∂ ∇∧H ∂t En substituant l'expression précédente de obtient : ∇∧∇∧E ∇ ∧ H dans cette dernière, on μoε ∂2 E ∂t 2 2 Mais, on sait que ∇ ∧ ∇ ∧ E ∇(∇·E) ∇ E, où a pas de charges dans l'espace, par hypothèse. Donc : 2 ∇ E μ oε ∇(∇·E) 0, car il n'y ∂2E ∂t 2 (1.4.3) Mais, si on admet que la source est à l'infini, l'onde est plane et on peut supposer qu'elle n'a qu'une composante selon x, fonction de z et t seulement. Cette dernière équation devient alors simplement : ∂2 Ex ∂z 2 μοε ∂2Ex ∂t 2 (1.4.4) C'est une équation d'onde qui admet des solutions de la forme : Ex(z,t) = f(z ± ut) (1.4.5) ce qu’on vérifie facilement par substitution. De telles fonctions sont des fonctions d'onde. On retrouve des équations de forme identique qui décrivent la propagation des ondes acoustiques et des ondes mécaniques en général. Par exemple, la propagation d'une déformation transversale y (z,t) le long d'une corde tendue est décrite par l'équation suivante : ∂2 y ∂z 2 ρ ∂2 y T ∂t 2 où ρ est la masse de la corde par unité de longueur et T est la force de tension dans la corde7. La pression acoustique étant la variation de pression dans un fluide au passage d'une onde, son équation de propagation est : ∂2 p ∂z 2 ρ ∂2 p K ∂t 2 où ρ est la masse volumique du fluide, et K sa compressibilité adiabatique8. On a une équation identique pour le déplacement s du fluide au passage de l'onde. Équation de propagation en régime harmonique Équation de Helmholtz Supposons que l'espace de la figure 1.3.1 est plein d'un diélectrique homogène et isotrope parfait, sans pertes, de permittivité électrique ε et de perméabilité magnétique μo. Supposons de plus que les charges et les 7 8 Ondes et vibrations, par Jean-Luc Dion, C.É.C. Montréal 1974, p. 115. Ibid., p. 120. 12 Électromagnétisme : Propagation - Lignes électriques courants sont nuls partout sauf dans la région source E qui se trouve infiniment loin de la région d'observation (région R). On suppose que ces charges et courants varient de façon sinusoïdale. Dans ce cas, les équations de Maxwell (1.1.2) à (1.1.5) deviennent : ∇·D 0 (1.4.6) ∇·B 0 (1.4.7) ∇∧E ∇∧H ∂B ∂t (1.4.8) ∂D ∂t (1.4.9) On s'intéresse ici à trouver des expressions de E et H qui satisfont ces équations, ainsi que la relation entre ces deux champs. Cela revient essentiellement à résoudre ces deux dernières équations qui sont des équations aux dérivées partielles. Mais, on sait que D = εE et B = μoH, de sorte que les deux dernières du groupe se réduisent à un système de deux équations à deux inconnues E et H : ∇∧E ∇∧H μo ε ∂H ∂t (1.4.10) ∂E ∂t (1.4.11) Or, si les sources varient sinusoïdalement, les champs doivent aussi varier sinusoïdalement. On peut donc les exprimer sous forme d'exponentielles complexes : E(z,t) E(z) ejω t H(z,t) H(z) ejω t E ejω t (1.4.12) H ejω t (1.4.13) où les amplitudes complexes sont fonction de z seulement, à cause de l'hypothèse initiale. En dérivant H(z,t) par rapport au temps et en portant le résultat dans (1.4.10), on obtient, ∇ ∧ E(z,t) ∇∧(E ejω t) ejω t ∇∧E(z) j ω μoH(z) ejω t Vu que les exponentielles complexes se simplifient dans les deux derniers termes, on n’a plus qu’une équation indépendante du temps :

Author Jean-Luc Dion Isbn 2923565207 File size 2.3MB Year 2003 Pages 304 Language English File format PDF Category Physics Book Description: FacebookTwitterGoogle+TumblrDiggMySpaceShare Électromagnétisme : phénomènes d’induction, Jean-Luc Dion Jean-Luc Dion a été professeur et directeur de recherche à l’Université du Québec à Trois-Rivières. Ses activités principales sont l’électromagnétisme, les techniques de mesureélectrique et l’ultrasonique. Il est l’auteur de l’ouvrage« Ondes et vibrations », de nombreuses publications scientifiques et de brevets d’invention en électromagnétisme et ultrasonique sont celui portant sur un nouveau type de sonoréacteur (réacteur à cavitation accoustique). Cet ouvrage en électromagnétisme s’adresse auxétudiantes et aux étudiants en génie électrique et en physique. Il sera aussi utile à tous les praticiens qui veulent rafraichir ou approfondir leurs connaissances. On y trouvera un traitement complet de la propagation libre et guidée des ondesélectromagnétiques. Les lignes électriques y sont abordées comme un cas particulier des guides d’ondes, auxquels on applique le modèle classique des circuits électriques donnant les équations de propagation des ondes de courant et de tension électriques. L’auteur a choisi l’approche la plus intuitive possible en utilisant de nombreuses illustrations et de nombreux exemples numériques. Il a aussi privilégié les démonstations claires en conservant les étapes intermédiaires, ce qui permet de buter sur des difficultés mathématiques secondaires. Dans une première lecture, on peut facilement sauter ces étapes pour mieux saisir l’ensemble d’un sujet donné. Les divers concepts sont traités avec simplicité et rigueur visant l’acquisition de bases solides en vue de perfectionnements ultérieurs, dans une perspective d’application. Les outils mathématiques modernes sont mis à profit le plus simplement possible pour faciliter la généralisation.     Download (2.3MB) Sciences industrielles pour l’ingénieur tout-en-un 2e année MP, PSI, PT : Cours et exercices corrigés Mécanique quantique: Tome 2, Développements et applications à basse énergie Sciences industrielles pour l’ingénieur tout-en-un 1re année MPSI-PCSI-PTSI : Cours et exe Sources et évolution de la physique quantique : Textes fondateurs Méthodes Classiques de Physique Théorique Cours et Problèmes Résolus Load more posts

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